Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. цепей.

Определение 1

В подавляющем большинстве случаев в электротехнике используются синусоидальные токи. Синусоидальными называют токи мгновенные значения которых изменяются в соответствии с законом:

\[I\left(t\right)=I_m{sin \left(\omega t- \Psi \right)\ \left(1\right).\ }\]

Подобные токи возникают как результат установившихся вынужденных колебаний в RLC контуре, если на него действует переменное напряжение вида:

Амплитуда тока ($I_m$) определяется амплитудой напряжения как:

Выражение:

называют полным электросопротивлением или импедансом.

Частные случаи значений амплитуды силы тока

В том случае, если цепь состоит только из активного сопротивления $(R)$, тогда:

ток совпадает с напряжением по фазе, амплитуда силы тока в этом случае равна:

Ты эксперт в этой предметной области? Предлагаем стать автором Справочника Условия работы

Если сравнивать уравнение (6) с выражением (3), то можно сделать вывод о том, что если вместо конденсатора участок цепи просто закоротить, то это будет означать переход к емкости равной бесконечности.

Пусть в контуре можно сопротивлением пренебречь $(R=0)$, а емкость считать равной бесконечности, тогда:

Величину $X_L$ называют реактивным индуктивным сопротивлением (индуктивным сопротивлением), если она равна:

Из формулы следует, что индуктивность постоянному току не сопротивляется (при $\omega$=0, $X_L$=0).

Допустим, что $R=0,\ L=0.$ Тогда согласно формуле (3), получим:

Величину $X_C=\frac{1}{\omega C}$ называют реактивным емкостным сопротивлением (емкостным сопротивлением). Если ток постоянный, то $X_C=\infty $. Это значит, что постоянный ток не течет через конденсатор.

В том случае, если R=0, амплитуда силы тока равна:

Реактивным сопротивлением (реактансом) $(X)$ называют величину равную:

Основные параметры синусоидального тока

ЛЕКЦИЯ 2

СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК. ФОРМЫ ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом преимуществ:

— генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока;

— переменный ток легко преобразуется в постоянный;

— трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее чем постоянным;

— двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и невысокую стоимость.

В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту. Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе. Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые П.Н.Яблочков и М.О.Доливо-Добровольский.

Основные параметры синусоидального тока

Переменным называют ток (напряжение, ЭДС), изменяющийся во времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени — синусной и косинусной, например:

(2.1)

где Im — максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);

w — угловая частота, причем ;

f — частота колебаний [Гц];

Т — период [C];

ji — начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t=0, т.е.

i(t=0) = Im× sin ji.

На рис. 2.1 приведен график двух колебаний с разными начальными фазами j1 и j2, причем j1 > j2. Амплитуда гармоник проходит через нуль, когда:

wt + j = pn (n = 0,1,2…), т.е. в моменты

.

Так как j1> j2, то t1 имеет место раньше t2:

Рис.2.1

Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса (слагаемые wt и j) нужно привести к одной единице измерения (рад. или градус).

Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (2.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.:

Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии — 60 Гц, в авиации — 400 Гц. Снижение частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.

Выражение для синусоидального напряжения аналогично (2.1), т.е.:

u(t) = Um × sin (wt + ju) (2.2)

Аналогично (2.1) определяются и основные параметры напряжения.

Кроме уже названных параметров, в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/p » 0,64 от амплитудного. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения

.

Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период:

.

Так как:

,

то:

.

Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет 0,707 от амплитудного. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения:

.

Если говорят о значениях переменного тока или напряжения, то, как правило, подразумевают их действующее значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В — действующее. При этом амплитудное значение Um @ 310 В.

ЛЕКЦИЯ 2

СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК. ФОРМЫ ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом преимуществ:

— генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока;

— переменный ток легко преобразуется в постоянный;

— трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее чем постоянным;

— двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и невысокую стоимость.

В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту. Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе. Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые П.Н.Яблочков и М.О.Доливо-Добровольский.

Основные параметры синусоидального тока

Переменным называют ток (напряжение, ЭДС), изменяющийся во времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени — синусной и косинусной, например:

(2.1)

где Im — максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);

w — угловая частота, причем ;

f — частота колебаний [Гц];

Т — период [C];

ji — начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t=0, т.е.

i(t=0) = Im× sin ji.

На рис. 2.1 приведен график двух колебаний с разными начальными фазами j1 и j2, причем j1 > j2. Амплитуда гармоник проходит через нуль, когда:

wt + j = pn (n = 0,1,2…), т.е. в моменты

.

Так как j1> j2, то t1 имеет место раньше t2:

Рис.2.1

Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса (слагаемые wt и j) нужно привести к одной единице измерения (рад. или градус).

Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (2.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.:

Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии — 60 Гц, в авиации — 400 Гц. Снижение частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.

Выражение для синусоидального напряжения аналогично (2.1), т.е.:

u(t) = Um × sin (wt + ju) (2.2)

Аналогично (2.1) определяются и основные параметры напряжения.

Кроме уже названных параметров, в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

(2.3)

Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/p » 0,64 от амплитудного. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения

.

Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период:

.

Так как:

,

то:

.

Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет 0,707 от амплитудного. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения:

.

Если говорят о значениях переменного тока или напряжения, то, как правило, подразумевают их действующее значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В — действующее. При этом амплитудное значение Um @ 310 В.

Сети переменного тока

По назначению и применению эти сети можно классифицировать следующим образом:

• общие системы: питание объектов промышленного, транспортного, сельскохозяйственного и бытового назначения;
• автономные сети: снабжение передвижных и стационарных автономных субъектов.

Общие сети переменного трёхфазного тока построены по четырёхпроводной схеме, где три провода – это «фаза», четвёртый – «ноль». Трансформаторные подстанции построены по схеме с глухо заземлённой нейтралью. Передача на дальние расстояния производится при высоком напряжении, которое затем понижается на подстанциях до напряжения 0,4 кВ и раздаётся потребителям.

Бытовые объекты подключаются по однофазной схеме. В этом случае требуются два провода: «фазный» и «нулевой».

Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. цепей.

Синусоидальным режимом эл. цепи

называется такой режим, при котором все напряжения и токи цепи изменяются по синусоидальному закону с одной и той же частотой.

Синусоидальные напряжения и токи широко применяются в основном по следующим причинам:

1. Они легко получаются с помощью различных генераторов.

2. Они легко преобразуются трансформаторами.

3. С их помощью легко создаются вращающиеся и бегущие магнитные поля, используемые в электродвигателях.

4. Сложением синусоидальных колебаний можно получать различные несинусоидальные напряжения и токи.

Рассмотрим синусоидальное напряжение . Его характеризуют три параметра: амплитуда

,
круговая частота
и
начальная фаза
(рис. 11.1). Амплитудные значения в электротехнике обозначаются большими буквами с индексом
m
.

К характеристикам синусоиды относятся также действующее значение U

,
циклическая частота
(т.е. количество колебаний в секунду), и
период.
Синусоидальный ток характеризуется аналогичными параметрами .

Для любой синусоиды действующее значение и амплитуда связаны коэффициентом : .

Состояние эл. цепей в синусоидальных режимах можно описывать, пользуясь функциями времени. Однако, это громоздко и трудоемко. Поэтому для расчетов синусоидальных режимов применяется комплексный метод. Он позволяет заменить дифференциальные и интегральные уравнения элементов эл. цепи алгебраическими, а также весьма наглядно представить синусоиды в виде векторов на векторных диаграммах.

Основа метода состоит в том, что каждой синусоиде ставится в соответствие комплексное число, называемое комплексом

. Такое соответствие взаимно однозначно. Оно определяется правилом:

,

где – действующее значение синусоиды, y – начальная фаза синусоиды, – мнимая единица (в электротехнике она обозначается этой буквой). Информация о частоте в комплекс не входит и должна учитываться отдельно. Комплексы обозначаются большими буквами с точкой: , или подчеркнутой большой буквой: .

Примеры: ,

.

Общая схема метода:

1. Переход от синусоид к комплексам.

2. Решение задачи в комплексах.

3. Переход от комплексов к синусоидам (если это нужно).

Рассмотрим произвольные синусоиды и , их комплексы и , а также произвольное действительное число А

. Операции на множестве синусоид и операции на множестве комплексов обладают следующим соответствием:

Такое соответствие операций позволяет рассматривать множество синусоид и множество комплексных чисел как по существу один и тот же математический объект. Доказательство несложно и опирается на свойства синусоид и комплексных чисел.

Комплексы изображаются векторами на плоскости согласно обычным правилам, принятым для комплексных чисел. В электротехнике такие рисунки называются векторными диаграммами.

Стрелки на векторной диаграмме — это изображения синусоид, а стрелки на схемах эл. цепи — это направления вычисления напряжений и токов!

Законы Кирхгофа, а также все другие свойства и методы расчета линейных эл. цепей при переходе к комплексам сохраняются.

Это следствие линейности соответствия синусоид и комплексов.

Замечание 1: В качестве модулей комплексов мы приняли действующие значения синусоид: . Такие комплексы называются комплексами действующих значений

. Однако, иногда бывает удобно принять в качестве модулей комплексов амплитудные значения синусоид: . Такие комплексы называются
комплексными амплитудами.
Замечание 2: Любую синусоиду можно представить также в виде синус- и косинус-составляющих:

,

где , . При этом , .

Так как для комплексных амплитуд , , то представление синусоиды в виде синус- и косинус-составляющих позволяет поставить ей в соответствие комплексную амплитуду в алгебраической форме:

.

Замечание 3: Комплексный метод применяется не только в электротехнике, но везде, где исследуются синусоидальные колебания.

Синусоидальным режимом эл. цепи

называется такой режим, при котором все напряжения и токи цепи изменяются по синусоидальному закону с одной и той же частотой.

Синусоидальные напряжения и токи широко применяются в основном по следующим причинам:

1. Они легко получаются с помощью различных генераторов.

2. Они легко преобразуются трансформаторами.

3. С их помощью легко создаются вращающиеся и бегущие магнитные поля, используемые в электродвигателях.

4. Сложением синусоидальных колебаний можно получать различные несинусоидальные напряжения и токи.

Рассмотрим синусоидальное напряжение . Его характеризуют три параметра: амплитуда

,
круговая частота
и
начальная фаза
(рис. 11.1). Амплитудные значения в электротехнике обозначаются большими буквами с индексом
m
.

К характеристикам синусоиды относятся также действующее значение U

,
циклическая частота
(т.е. количество колебаний в секунду), и
период.
Синусоидальный ток характеризуется аналогичными параметрами .

Для любой синусоиды действующее значение и амплитуда связаны коэффициентом : .

Состояние эл. цепей в синусоидальных режимах можно описывать, пользуясь функциями времени. Однако, это громоздко и трудоемко. Поэтому для расчетов синусоидальных режимов применяется комплексный метод. Он позволяет заменить дифференциальные и интегральные уравнения элементов эл. цепи алгебраическими, а также весьма наглядно представить синусоиды в виде векторов на векторных диаграммах.

Основа метода состоит в том, что каждой синусоиде ставится в соответствие комплексное число, называемое комплексом

. Такое соответствие взаимно однозначно. Оно определяется правилом:

,

где – действующее значение синусоиды, y – начальная фаза синусоиды, – мнимая единица (в электротехнике она обозначается этой буквой). Информация о частоте в комплекс не входит и должна учитываться отдельно. Комплексы обозначаются большими буквами с точкой: , или подчеркнутой большой буквой: .

Примеры: ,

.

Общая схема метода:

1. Переход от синусоид к комплексам.

2. Решение задачи в комплексах.

3. Переход от комплексов к синусоидам (если это нужно).

Рассмотрим произвольные синусоиды и , их комплексы и , а также произвольное действительное число А

. Операции на множестве синусоид и операции на множестве комплексов обладают следующим соответствием:

Такое соответствие операций позволяет рассматривать множество синусоид и множество комплексных чисел как по существу один и тот же математический объект. Доказательство несложно и опирается на свойства синусоид и комплексных чисел.

Комплексы изображаются векторами на плоскости согласно обычным правилам, принятым для комплексных чисел. В электротехнике такие рисунки называются векторными диаграммами.

Стрелки на векторной диаграмме — это изображения синусоид, а стрелки на схемах эл. цепи — это направления вычисления напряжений и токов!

Законы Кирхгофа, а также все другие свойства и методы расчета линейных эл. цепей при переходе к комплексам сохраняются.

Это следствие линейности соответствия синусоид и комплексов.

Замечание 1: В качестве модулей комплексов мы приняли действующие значения синусоид: . Такие комплексы называются комплексами действующих значений

. Однако, иногда бывает удобно принять в качестве модулей комплексов амплитудные значения синусоид: . Такие комплексы называются
комплексными амплитудами.
Замечание 2: Любую синусоиду можно представить также в виде синус- и косинус-составляющих:

,

где , . При этом , .

Так как для комплексных амплитуд , , то представление синусоиды в виде синус- и косинус-составляющих позволяет поставить ей в соответствие комплексную амплитуду в алгебраической форме:

.

Замечание 3: Комплексный метод применяется не только в электротехнике, но везде, где исследуются синусоидальные колебания.

Общее понятие о переменном токе

В отличие от постоянного движения электронов в одном направлении, переменный ток меняет как направление, так и значение несколько раз за единицу времени. Изменения происходят по гармоническому закону. Если наблюдать подобный сигнал с помощью осциллографа, можно увидеть картинку в виде синусоиды.

Относительно оси ординат OY ток меняет своё направление с положительного на отрицательное и делает это периодически. Поэтому его мгновенное значение в первой позиции считается положительным, во второй – отрицательным.

Важно! Так как переменный ток – это алгебраическая величина, то говорить о его знаке заряда можно только для конкретного мгновенного значения, смотря, в каком направлении он протекает в этот момент.

Генерирование переменного тока

Кроме стандартных генераторов, для производства переменного тока применяются инверторы и фазорасщепители.

Инвертор

Это устройство, с помощью которого из постоянного тока получают его переменный вид. В процессе этого величина выходного напряжения тоже меняется. Схема устройства представляет собой электронный генератор синусоидального импульсного напряжения периодического характера. Есть варианты инверторов, работающих с дискретным сигналом. Инверторы применяют для автономного питания оборудования от аккумуляторов постоянного напряжения.

Фазорасщепитель

Ещё один способ получить несколько фаз из какого-либо сигнала – это выполнить его расщепление на несколько фаз. Это делается с помощью фазорасщепителя. Принудительная обработка сигналов цифрового или аналогового формата используется, как в радиоэлектронике, так и в силовой электротехнике.

Для электроснабжения трёхфазных асинхронных двигателей применяют выполненный на их же базе фазорасщепитель. Для этого обмотки трёхфазного двигателя соединяют не «звездой», а иначе. Две катушки присоединяют между собой последовательно, третью – подключают к средней точке второй обмотки. Двигатель запускают, как однофазный, после разгона в его третьей обмотке наводится ЭДС.

Интересно. В случае расщепления фаз подобным методом сдвиг фаз между 2 и 3 обмоткой составляет не 1200, как должно быть в идеале, а 900.