Определение
Среднеквадратичное значение (СКЗ) – статическая мера переменной величины. Это полезно, если функция чередует положительные и отрицательные показатели (синусоиды). Перед нами квадратный корень из среднего арифметического квадратов. В случае набора значений n (x1, x2, …., xn) СКЗ определяется по формуле:
Соответствующая формула для непрерывной функции f (t), вычисленной на интервале T1 ≤ t ≤ T2:
Среднеквадратичное значение тока для функции в течение всего времени:
Среднеквадратичное значение напряжения за время периодической функции приравнивается к СКЗ одного периода.
Лампочка и постоянное напряжение
Для опытов нам также понадобится простая автомобильная лампа накаливания на напряжение 12 Вольт
Вот ее характеристики: рабочее напряжение U=12 Вольт, мощность Р = 21 Ватт.
Следовательно, зная мощность и напряжение лампы, можно узнать, какую силу тока будет потреблять лампочка. Из формулы P=IU, где I — сила тока, можно найти I. Значит I=P/U=21/12=1,75 Ампер.
Ладно, с лампочкой разобрались. Давайте ее зажжем. Для этого на нашем блоке питания выставляем рабочее напряжение для нашей лампы
Подаем напряжение с блока питания на лампу и вуаля!
Замеряем напряжение на клеммах-крокодилах блока питания с помощью мультиметра . Ровнехонько 12 Вольт, как и предполагалось.
К этим же клеммах цепляем и наш осциллограф
Смотрим осциллограмму:
Видите прямую линию? Это и есть осциллограмма постоянного напряжения. В течение времени у нас напряжение остается таким, каким и было и не меняется. Если посчитать, то можно вычислить, чему равняется напряжение. Так как одна клеточка у нас 5 Вольт (на фото внизу слева), то значит, наше напряжение 12 Вольт. Я также вывел это значение на дисплей осциллографа в самом нижнем левом углу: 12,03 Вольт. Все верно.
Замеряем силу тока. Как правильно замерить силу тока в цепи, можно узнать, прочитав статью как измерить ток и напряжение мультиметром?.
Получили 1,72 Ампер. А как вы помните, наше расчетное значение было 1,75 Ампер. Думаю, вину можно переложить на погрешность прибора или на лампочку
Применение к напряжению и току
Давайте взглянем на синусоидально меняющееся напряжение:
(а) – Постоянное напряжение и ток остаются стабильными. (b) – График напряжения и тока в зависимости от времени для мощности переменного тока в 60 Гц. Напряжение и ток выступают синусоидальными и расположены в фазе для простой схемы сопротивления. Частоты и пиковые напряжения сильно отличаются
V = V0sin (2πft), где V – напряжение в момент времени, V0 – пиковое напряжение, f – частота в Гц. Для этой простой схемы сопротивления I = V/R, поэтому ток переменного выглядит как:
I = I0sin (2πft), где I – ток в момент времени, а I0 = V0/R – пиковый ток. Теперь, используя вышеприведенное определение, выведем среднеквадратичные напряжение и ток. Прежде всего, у нас есть
Здесь мы заменили 2πf на ω. Поскольку V0 выступает постоянной, можно разложить ее из квадратного корня и использовать тригонометрическую формулу для замены квадрата синусоидальной функции.
Интегрируя написанное:
Поскольку интервал отображает целое число полных циклов, члены отменяются, оставляя:
Вы также поймете, что СКЗ можно выразить через
Лампочка и переменное напряжение
Теперь начинается самое интересное. Берем наш ЛАТР
Ставим прибор на измерение переменного напряжения и выставляем с помощью крутилки ЛАТРа напряжение в 12 Вольт. Обратите внимание, что крутилка на мультиметре находится в диапазоне измерения переменного напряжения. Забегая вперед, скажу, что мультиметр измеряет среднеквадратичное напряжение.
Цепляем осциллограф к клеммах ЛАТРа, не забывая на осциллографе выставить замеры переменного напряжения и смотрим получившуюся осциллограмму:
Смотрим, сколько силы тока кушает наша лампочка. Все как положено, 1,71 Ампер.
Обновленное уравнение контура
Многие из выведенных уравнений относятся к переменному току. Если нам нужно получить усредненный по времени результат, то соответствующие переменные выражаются в СКЗ. К примеру, закон Ома передается как
Различные выражения для мощности переменного тока выглядят как:
Отсюда видно, что можно вывести среднюю мощность, основываясь на пиковом напряжении и токе.
Мощность переменного тока, основываясь на времени. Напряжение и ток пребывают в фазе, а их продукт колеблется между нулем и IV. Средняя мощность – (1/2) IV
СКЗ полезны, если напряжение меняется по форме сигнала, отличающегося от синусоидов (квадратные, треугольные или пилообразные волны).
Синусоидальные, квадратные, треугольные и пилообразные волны
Средневыпрямленное значение напряжения
Чаще всего используют средневыпрямленное значение напряжения Uср. выпр. То есть площадь сигнала, которая «пробивает пол» берут не с отрицательным знаком, а с положительным.
средневыпрямленное значение напряжения будет уже равняться не нулю, а S1+S2=2S1=2S2. Здесь мы суммируем площади, независимо от того, с каким они знаком.
На практике средневыпрямленное значение напряжения получить легко, использовав диодный мост. После выпрямления синусоидального сигнала, график будет выглядеть вот так:
выпрямленное переменное напряжение после диодного моста
Для того, чтобы примерно узнать, чему равняется средневыпрямленное напряжение, достаточно узнать максимальную амплитуду синусоидального сигнала Umax и сосчитать ее по формуле:
Методы определения потерь энергии в электрических сетях
Определение потерь энергии методом графического интегрирования
Для определения потерь этим методом необходимо иметь график электрических нагрузок, например, рис. 3.9.
Метод заключается в вычислении площадей участков, на которые разбивается график
Потери энергии от протекания тока нагрузки по элементу электрической сети определяются:
де
n – количество участков, на которые разбивается график:
Метод имеет высокую степень точности, но необходимость графика нагрузок делает его трудоемким и не позволяет использовать метод графического интегрирования в процессе проектирования.
Метод среднеквадратичного тока (среднеквадратичной мощности)
Достоинство этого метода в том, что среднеквадратичный ток (или мощность) вычисляется только один раз для серии расчетов.
Рис.3.10. К определению среднеквадратичного тока
Среднеквадратичный ток Iср.кв – это такой условный неизменный по величине ток, при протекании которого по сети в течение расчетного периода выделяются те же потери энергии, что и при протекании действительного тока, изменяющегося по графику нагрузки
Это проиллюстрировано на рис. 3.10, где площадь фигуры «оабсден» пропорциональна потерям энергии (3.32) и равна по площади фигуре «оmkн», т.е. квадрат среднеквадратичного тока I2ср.кв позволяет найти потери энергии:
Среднеквадратичный ток можно определить:
Переходя от тока к мощности, определим среднеквадратичную мощность за год:
:
Sср.кв = Sнб(0,12 + Tнб 10-4),
где Тнб, час — время использования наибольшей нагрузки – это время, течение которого при передаче по сети наибольшей нагрузки будет передана та же энергия W = РнбТнб, что и при реальном графике (рис.3.11).
Tнб – важнейший показатель, который характеризует как потребителя, так и электрическую сеть в целом (рис.3.7). Так для односменных предприятий Тнб=2000-3000ч; для двухсменных — Тнб=3000-4500ч; для трехсменных — Тнб=4500-8000ч; для коммунально-бытовой нагрузки Тнб=1300-3500ч.
Потери электроэнергии находятся по формуле, эквивалентной (3.38):
3.8.3. Метод времени наибольших потерь
Временем наибольших потерь t называется время, за которое при передаче наибольшей нагрузки в сети возникнут те же потери электроэнергии, что и при работе сети по действительному графику нагрузки.
t = (0,124 + Тнб 10-4)2 8760, час.
Потери энергии в линиях и трансформаторах
Определение потерь энергии методом графического интегрирования в линии может быть произведено путем суммирования значений потерь мощности за бесконечно малые промежутки времени (3.38):
Аналогично находятся потери в трансформаторах:
При использовании метода среднеквадратичного тока потери в линиях и трансформаторах находятся по следующим формулам:
Расчет среднего и среднеквадратичного значений тока/напряжения
. . Вот здесь есть расширенный и углубленный вариант данной заметки . .
Будучи в очень недавнем прошлом яростным разработчиком всевозможных импульсных источников питания, интересовался всяким по данной теме. В частности – вычислением среднего (AVG, Average) и среднеквадратичного (действующего, эффективного, RMS) значений напряжений и (особенно) токов, живущих в разрабатываемом источнике. Для тех, кто не помнит/не знает – напомню определение среднеквадратичного значения тока/напряжения из Википедии:
Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называют величину постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток за время одного периода. В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины — среднеквадратичное значение силы переменного тока
Посему, хочешь узнать статические потери на ключе флайбэка – будь добр посчитать среднеквадратичное значение тока первички. Надо узнать мощность токосчитывающего резистора – туда же. И про выпрямители во вторичной цепи – та же песня. Даже потери (и приблизительный нагрев) в обмотках трансов и дросселей для хиленьких источников и невысоких частот преобразования в первом приближении можно посчитать при помощи среднеквадратичного значения тока, через эти обмотки протекающего.
Дисперсия, ее виды, среднеквадратическое отклонение.
Дисперсия случайной величины — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения отматематического ожидания. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Общая дисперсия (σ 2 ) измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Вместе с тем, благодаря методу группировок можно выделить и измерить вариацию, обусловленную группировочным признаком, и вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов.
Межгрупповая дисперсия (σ 2 м.гр) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки.
Среднеквадратическое отклонение (синонимы: среднее квадратическое отклонение, среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величиныотносительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическоесовокупности выборок.
Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется какквадратный корень из дисперсии случайной величины.
Среднеквадратическое отклонение:
Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):
где — дисперсия; — i-й элемент выборки; — объём выборки; — среднее арифметическое выборки:
Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной.
