Пассивный полосовой фильтр — принцип работы, характеристики, схемы, формулы

Что такое электрический фильтр

Электрический фильтр — это устройство для выделения желательных компонентов спектра (частот) электрического сигнала и/или для подавления нежелательных. Для остальных частот, которые не входят в полосу пропускания, фильтр создает большое затухание, вплоть до полного их исчезновения.
Характеристика идеального фильтра должна вырезать строго определенную полосу частота и «давить» другие частоты до полного их затухания. Ниже пример идеального фильтра, который пропускает частоты до какого-то определенного значения частоты среза.

На практике такой фильтр реализовать нереально. При проектировании фильтров стараются как можно ближе приблизиться к идеальной характеристике. Чем ближе характеристика АЧХ к идеальному фильтру, тем лучше он будет исполнять свою функцию фильтрации сигналов.

Фильтры, которые собираются только на пассивных радиоэлементах, таких как катушка индуктивности, конденсатор, резистор, называют пассивными фильтрами. Фильтры, которые в своем составе имеют один или несколько активных радиоэлементов, типа транзистора или , называют активными фильтрами.

В нашей статье мы будем рассматривать пассивные фильтры и начнем с самых простых фильтров, состоящих из одного радиоэлемента.

Осуществление расчетов

Их выполняют, учитывая частоту среза и коэффициент передачи постоянного сигнала. При изготовлении активных фильтров учитывают емкость конденсаторов.

Отдельно рассчитывают передаточную функцию. Коэффициент постоянного сигнала будет положительным, если частота входящего сигнала выше первоначальных характеристик.

Одноэлементные фильтры

Как вы поняли из названия, одноэлементные фильтры состоят из одного радиоэлемента. Это может быть либо конденсатор, либо катушка индуктивности. Сами по себе катушка и конденсатор не являются фильтрами — это ведь по сути просто радиоэлементы. А вот вместе с выходным сопротивлением генератора и с сопротивлением нагрузки их уже можно рассматривать как фильтры. Здесь все просто. Реактивное сопротивление конденсатора и катушки зависят от частоты. Подробнее про реактивное сопротивление вы можете прочитать в этой статье.

В основном одноэлементные фильтры применяются в аудиотехнике. В этом случае для фильтрации используется либо катушка, либо конденсатор, в зависимости от того, какие частоты надо выделить. Для ВЧ-динамика (пищалки), мы последовательно с динамиком соединяем конденсатор, который будет пропускать через себя ВЧ-сигнал почти без потерь, а низкие частоты будет глушить.

Для сабвуферного динамика нам нужно выделить низкие частоты (НЧ), поэтому последовательно с сабвуфером соединяем катушку индуктивности.

Номиналы одиночных радиоэлементов можно, конечно, рассчитать, но в основном подбирают на слух.

Для тех, кто не желает заморачиваться, трудолюбивые китайцы создают готовые фильтры для пищалок и сабвуфера. Вот один из примеров:

На плате мы видим 3 клеммника: входной клеммник (INPUT), выходной под басы (BASS) и клеммник под пищалку (TREBLE).

Фото фильтров низких и высоких частот

Читайте здесь — Какой пол лучше выбрать — варианты напольного покрытия и советы дизайнеров по выбору лучшего покрытия (110 фото и видео)

Г-образные фильтры

Г-образные фильтры состоят из двух радиоэлементов, один или два из которых имеют нелинейную АЧХ.

RC-фильтры

Думаю, начнем с самого известного нам фильтра, состоящего из резистора и конденсатора. Он имеет две модификации:

С первого взгляда можно подумать, что это два одинаковых фильтра, но это не так. В этом легко убедиться, если построить АЧХ для каждого фильтра.

В этом деле нам поможет Proteus. Итак, АЧХ для этой цепи

будет выглядеть вот так:

Как мы видим, АЧХ такого фильтра беспрепятственно пропускает низкие частоты, а с ростом частоты ослабляет высокие частоты. Поэтому, такой фильтр называют фильтром низких частот (ФНЧ).

А вот для этой цепи

АЧХ будет выглядеть таким образом

Здесь как раз все наоборот. Такой фильтр ослабляет низкие частоты и пропускает высокие частоты, поэтому такой фильтр называется фильтром высокой частоты (ФВЧ).

Наклон характеристики АЧХ

Наклон АЧХ в обоих случаях равняется 6 дБ/октаву после точки, соответствующей значению коэффициента передачи в -3дБ, то есть частоты среза. Что означает запись 6 дБ/октаву? До или после частоты среза, наклон АЧХ принимает вид почти прямой линии при условии, что коэффициент передачи измеряем в . Октава — это соотношение частот два к одному. В нашем примере наклон АЧХ в 6 дБ/октаву говорит о том, что при увеличении частоты в два раза, у нас прямая АЧХ растет (или падает) на 6 дБ.

Давайте рассмотрим этот пример

Возьмем частоту 1 КГц. На частоте от 1 КГц до 2 КГц падение АЧХ составит 6 дБ. На промежутке от 2 КГц и до 4 КГц АЧХ снова падает на 6 дБ, на промежутке от 4 КГц и до 8 КГц снова падает на 6 дБ, на частоте от 8 КГц и до 16 КГц затухание АЧХ снова будет 6 дБ и тд. , следовательно, наклон АЧХ составляет 6 дБ/октаву. Есть также такое понятие, как дБ/декада. Оно используется реже и обозначает разницу между частотами в 10 раз. Как найти /декаду можно прочитать в этой статье.

Чем больше крутизна наклона прямой АЧХ, тем лучше избирательные свойства фильтра:

Фильтр, с характеристикой наклона в 24 дБ/октаву явно будет лучше, чем в 6 дБ/октаву, так как становится более приближенным к идеальному.

RL-фильтры

Почему бы не заменить конденсатор катушкой индуктивности? Получаем снова два типа фильтров:

Для этого фильтра

АЧХ принимает такой вид:

Получили все тот же самый ФНЧ

а для такой цепи

АЧХ примет такой вид

Тот же самый фильтр ФВЧ

RC и RL фильтры называют фильтрами первого порядка и они обеспечивают наклон характеристики АЧХ в 6 дБ/октаву после частоты среза.

LC-фильтры

А что если заменить резистор конденсатором? Итого мы имеем в схеме два радиоэлемента, реактивное сопротивление которых зависит от частоты. Здесь получаются также два варианта:

Давайте рассмотрим АЧХ этого фильтра

Как вы могли заметить, его АЧХ в области низких частот получилась наиболее плоской и заканчивается шипом. Откуда вообще он взялся? Мало того, что цепь собрана из пассивных радиоэлементов, так она еще и усиливает сигнал по напряжению в области шипа!? Но не стоит радоваться. Усиливает по напряжению, а не по мощности. Дело в том, что мы получили последовательный колебательный контур, у которого, как вы помните, на частоте резонанса возникает резонанс напряжений. При резонансе напряжений, напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе.

Но это еще не все. Это напряжение в Q раз больше, чем напряжение, подаваемое на последовательный колебательный контур. А что такое Q? Это добротность. Вас этот шип не должен смущать, так как высота пика зависит от добротности, которая в реальных схемах составляет небольшое значение. Примечательна эта схема также тем, что наклон ее характеристики составляет 12 дБ/октаву, что в два раза лучше, чем у RC и RL фильтров. Кстати, если даже максимальная амплитуда превышает значения в 0 дБ, то все равно полосу пропускания определяем на уровне в -3 дБ. Об этом тоже не стоит забывать.

Все то же самое касается и ФВЧ фильтра

Как я уже сказал, LC фильтры называют уже фильтрами второго порядка и они обеспечивают наклон АЧХ в 12 дБ/октаву.

Процесс изготовления

Чтобы изготовить простейший фильтр низких частот своими руками стоит использовать магнитную сетку. Ее стоит разместить после резисторов. Преселектор выступает проводником. Тип конденсатора будет влиять на перехват сигнала.

Последнее время наибольшее распространение получили полевые модели. Они дают возможность оказывать влияние на коротковолновые импульсы, оказывая на них стабилизирующее действие.

Посмотрите еще здесь!

• Как сделать самодельный металлоискатель — лучшие схемы, инструкция. Обзор проверенных вариантов по созданию простого металлоискателя своими руками

• Как выбрать стиральную машину: советы профессионалов, основные тонкости выбора надежной и качественной машинки. Виды, типы, программы и функции

Ревербератор создает искусственные сигналы не изменяя при этом предельную частоту.

По типам можно поделить ФНЧ на активные и пассивные.

У активных полоса пропускания находится в пределах 5 Гц. Для улавливания сигнала устанавливают вспомогательные детали.

Конденсаторы необходимо припаивать к магнитной сетке. При их включении в цепь появляется можно увеличить возможности приспособления.

Транзисторы тут регулируют предельную частоту. Аналоговый модулятор используют с целью осуществления положительной обратной связи. Его устанавливают после конденсаторов. Стабилитроны стабилизируют колебательные контуры.

Посмотрите еще здесь!

• Затирка — использование, отзывы, ведущие производители

• Замена крана под давлением — пошаговое описание как своими руками поменять под давлением водопроводный кран (80 фото + видео)

Сложные фильтры

Что будет, если соединить два фильтра первого порядка друг за другом? Как ни странно, получится фильтр второго порядка.

Его АЧХ будет более крутой, а именно 12 дБ/октаву, что характерно для фильтров второго порядка. Догадайтесь, какой наклон будет у фильтра третьего порядка ? Все верно, прибавляем 6 дБ/октаву и получаем 18 дБ/октаву. Соответственно, у фильтра 4 -ого порядка наклон АЧХ будет уже 24 дБ/октаву и тд. То есть, чем больше звеньев мы соединим, тем круче будет наклон АЧХ и тем лучше будут характеристики фильтра. Все оно так, но вы забыли то, что каждый последующий каскад вносит свою лепту в ослабление сигнала.

В приведенных схемах мы строили АЧХ фильтра без внутреннего сопротивления генератора а также без нагрузки. То есть в данном случае сопротивление на выходе фильтра равняется бесконечности. Значит, желательно делать так, чтобы каждый последующий каскад имел значительно бОльшее входное сопротивление, чем предыдущий. В настоящее время каскадирование звеньев уже кануло в лету и сейчас используют активные фильтры, которые построены на ОУ.

▍ Постановка задачи

Итак, нашей задачей является сформировать пару фильтров, делящих полосу частот на две с перекрытием. При этом они должны обладать следующими характеристиками:

1. Гладкая АЧХ без пульсаций;
2. Фазолинейность (сдвиг фаз на всех частотах равен нулю);
3. Симметричность АЧХ в логарифмическом масштабе частот.

Примечание

пункт 1) означает, что мы не закладываем в фильтр пульсации так, как это делается, например, в фильтре Чебышёва. В теории, идеально гладкая АЧХ доступна только в IIR-фильтре бесконечной длины. На практике нам достаточно лишь, чтобы уровень пульсаций не превышал уровень шума входного сигнала, который для аудио-сигналов составляет -120 дБ в целом и -90 дБ для компакт-дисков и прочих 16-битных записей.
Cимметричность (зеркальность) АЧХ решает две задачи: 1) ВЧ-составляющую сигнала можно получить вычитанием из исходного НЧ-составляющей — как в частотной, так и во временной области; 2) избавляет от мучительного выбора, для какого фильтра — НЧ или ВЧ — предпочтительнее более пологий или крутой спад АЧХ.
Похожее требование есть у квадратурных зеркальных фильтров, в которых задаётся симметрия в линейном масштабе частот. Но нас интересует именно логарифмический масштаб, как более естественный для человеческого слуха.

Кроме того,

стиль изложения в описании квадратурных зеркальных фильтров что в википедии, что в типичных научных работах мало способствует понимаю того, как их нужно реализовывать на практике даже не очень далёкому от математики программисту.

Разбор фильтра с Алиэкспресс

Для того, чтобы вы уловили предыдущую мысль, мы разберем простой пример от наших узкоглазых братьев. На Алиэкпрессе продаются различные фильтры для сабвуфера. Рассмотрим один из них.

Как вы заметили, на нем написаны характеристики фильтра: данный тип фильтра рассчитан на сабвуфер мощностью 300 Ватт, наклон его характеристики 12 дБ/октаву. Если соединять к выходу фильтра саб с сопротивлением катушки в 4 Ома, то частота среза составит 150 Гц. Если же сопротивление катушки саба 8 Ом, то частота среза составит 300 Гц.

Для полных чайников продавец даже привел схему в описании товара. Выглядит она вот так:

Далее мы собираем эту схему в Proteus. Так как при параллельном соединении конденсаторов номиналы суммируются, я сразу заменил 4 конденсатора одним.

Чаще всего можно увидеть прямо на динамиках значение сопротивления катушки на постоянном токе: 2 Ω, 4 Ω, 8 Ω. Реже 16 Ω. Значок Ω после цифр обозначает Омы. Также не забывайте, что катушка в динамике обладает индуктивностью.

Как ведет себя катушка индуктивности на разных частотах?

Как вы видите, на постоянном токе катушка динамика обладает активным сопротивлением, так как она намотана из медного провода. На низких частотах в дело вступает реактивное сопротивление катушки, которое вычисляется по формуле:

где

ХL — сопротивление катушки, Ом

П — постоянная и равна приблизительно 3,14

F — частота, Гц

L — индуктивность, Гн

Так как сабвуфер предназначен именно для низких частот, значит, оследовательно с активным сопротивлением самой катушки добавляется реактивное сопротивление этой же самой катушки. Но в нашем опыте мы это учитывать не будем, так как не знаем индуктивность нашего воображаемого динамика. Поэтому, все расчеты в опыте берем с приличной погрешностью.

Как утверждает китаец, при нагрузке на фильтр динамика в 4 Ома, его полоса пропускания будет доходить до 150 Герц. Проверяем так ли это:

Его АЧХ

Как вы видите, частота среза на уровне в -3 дБ составила почти 150 Герц.

Нагружаем наш фильтр динамиком в 8 Ом

Частота среза составила 213 Гц.

В описании на товар утверждалось, что частота среза на 8-омный саб составит 300 Гц. Думаю, можно поверить китайцам, так как во-первых, все данные приближенные, а во-вторых, симуляция в программах далека от реальности. Но суть опыта была не в этом. Как мы видим на АЧХ, нагружая фильтр сопротивлением большего номинала, частота среза сдвигается в большую сторону. Это также надо учитывать при проектировании фильтров.

Описание связанных шагов

1. Залейте изображение 0, чтобы получить изображение размером P * Q, главным образом, чтобы избежать ошибок намотки при циклической свертке. Когда две матрицы имеют одинаковый размер, P≥2m-1 и Q≥2n-1, ошибки упаковки можно избежать. Поскольку преобразование Фурье выполняется быстрее для матриц четного размера, P занимает 2m, а Q — 2n.

2. Умножьте изображение на (-1) ^ (x + y), а затем выполните преобразование Фурье на изображении, чтобы получить преобразование Фурье, которое перемещает начало координат в центр. Таким образом, для F (u, v) частота в центре самая низкая, а частоты вокруг нее выше. Значение каждой точки представляет величину частоты. В Matlab также можно не умножать на (-1) ^ (x + y) и напрямую выполнять преобразование Фурье на заполненном изображении, а затем использовать функцию fftshift для центрирования его преобразования Фурье. Результат тот же.

3. Поскольку изображение является вещественной функцией, его преобразование Фурье является вращательно-симметричным преобразованием Фурье.

4. О центре симметрии. В учебнике указано, что для одномерной последовательности длины M, когда M — четное число, позиции 0 и M / 2 показывают характеристики нуля, а когда M — нечетное число, только позиция 0 демонстрирует характеристику нуля. . Следовательно, в Matlab, поскольку индекс матрицы начинается с 1, наши P = 2m и Q = 2n. Следовательно, положение центральной точки равно (P / 2 + 1, Q / 2 + 1), то есть (m + 1, n + 1).

5. Стандартизированная обработка. Обработайте значение каждой точки окончательного изображения. Сделайте его диапазон равным uint8 из [0, 255]. Или двойное значение [0, 1.0].

В процессе реализации с использованием кода MATLAB для этих трех типов фильтров нижних частот только часть кода экспериментальной функции фильтра нижних частот H (u, v) отличается, а другие части такие же. Поэтому ниже приводится только код для реализации фильтра нижних частот Баттерворта, а коды для двух других фильтров не приводятся.

Полосовые фильтры

В прошлой статье мы с вами рассматривали один из примеров полосового фильтра

Вот так выглядит АЧХ этого фильтра.

Особенность таких фильтров такова, что они имеют две частоты среза. Определяются они также на уровне в -3дБ или на уровне в 0,707 от максимального значения коэффициента передачи, а еще точнее Ku max/√2.

Полосовые резонансные фильтры

Если нам надо выделить какую-то узкую полосу частот, для этого применяются LC-резонанcные фильтры. Еще их часто называют избирательными. Давайте рассмотрим одного из их представителя.

LC-контур в сочетании с резистором R образует делитель напряжения. Катушка и конденсатор в паре создают параллельный колебательный контур, который на частоте резонанса будет иметь очень высокий импеданс, в народе — обрыв цепи. В результате, на выходе цепи при резонансе будет значение входного напряжения, при условии если мы к выходу такого фильтра не цепляем никакой нагрузки.

АЧХ данного фильтра будет выглядеть примерно вот так:

В реальной же цепи пик характеристики АЧХ будет сглажен за счет потерь в катушке и конденсаторе, так как катушка и конденсатор обладают паразитными параметрами.

Если взять по оси Y значение коэффициента передачи, то график АЧХ будет выглядеть следующим образом:

Постройте прямую на уровне в 0,707 и оцените полосу пропускания такого фильтра. Как вы можете заметить, она будет очень узкой. Коэффициент добротности Q позволяет оценить характеристику контура. Чем большее добротность, тем острее характеристика.

Как же определить добротность из графика? Для этого надо найти резонансную частоту по формуле:

где

f0— это резонансная частота контура, Гц

L — индуктивность катушки, Гн

С — емкость конденсатора, Ф

Подставляем L=1mH и С=1uF и получаем для нашего контура резонансную частоту в 5033 Гц.

Теперь надо определить полосу пропускания нашего фильтра. Делается это как обычно на уровне в -3 дБ, если вертикальная шкала в децибелах, либо на уровне в 0,707, если шкала линейная.

Давайте увеличим верхушку нашей АЧХ и найдем две частоты среза.

f1 = 4839 Гц

f2 = 5233 Гц

Следовательно, полоса пропускания Δf=f2 — f1 = 5233-4839=394 Гц

Ну и осталось найти добротность:

Q=5033/394=12,77

Режекторные фильтры

Другой разновидностью LC схем является последовательная LC-схема.

Ее АЧХ будет выглядеть примерно вот так:

Как можно увидеть, такая схема на резонансной частоте и вблизи нее как бы вырезает небольшой диапазон частот. Здесь вступает в силу резонанс последовательного колебательного контура. Как вы помните, на резонансной частоте сопротивление контура будет равняться его активному сопротивлению. Активное сопротивление контура составляют паразитные параметры катушки и конденсатора, поэтому падение напряжения на самом контуре будет равняться падению напряжения на паразитном сопротивлении, которое очень мало. Такой фильтр называют узкополосным режекторным фильтром.

Индуктивность катушки. Формула есть по ссылке.

На практике звенья таких фильтров каскадируют, чтобы получить различные фильтры с требуемой полосой пропускания. Но есть один минус у фильтров, в которых имеется катушка индуктивности. Катушки дорогие, громоздкие, имеют много паразитных параметров. Они чувствительны к фону, который магнитным путем наводится от расположенных поблизости силовых трансформаторов.

Конечно, этот недостаток можно устранить, поместив катушку индуктивности в экран из мю-металла, но от этого она станет только дороже. Проектировщики всячески пытаются избежать катушек индуктивности, если это возможно. Но, благодаря прогрессу, в настоящее время катушки не используются в активных фильтрах, построенных на ОУ.

Видео на тему «Как работает электрический фильтр», рекомендую к просмотру:

Основные шаги

1. Дано изображение f (x, y) размера m * n. Выберите подходящие параметры заполнения P и Q, обычно пусть P = 2m, Q = 2n.

2. Заполните изображение f (x, y) значением 0 и получите изображение fp (x, y) с размером изображения P * Q после заполнения.

3. Умножьте (-1) ^ (x + y) на fp (x, y), чтобы переместить его в центр преобразования (централизация).

4. Вычислите ДПФ для fp (x, y), чтобы получить F (u, v). К

5. Создайте реальную симметричную функцию фильтра H (u, v) с размером P * Q с центром в (P / 2, Q / 2). Затем умножьте (матричное умножение на точку), чтобы получить G (u, v) = H (u, v) F (u, v).

6. Возьмите обратное преобразование Фурье G (u, v), затем возьмите действительную часть, а затем умножьте ее на (-1) ^ (x + y), чтобы выполнить обратное преобразование центра и, наконец, получить gp (x, y ).

7. Извлеките область m * n в верхнем левом углу gp (x, y), стандартизируйте извлеченную часть и получите окончательное изображение результата g (x, y).

▍ Аналитическое решение

Озвученным выше требованиям гладкости и симметрии (но не фазолинейности) соответствует фильтр Линквитца-Рейли. Зная формулу АЧХ , где — порядок фильтра, формулу импульсной характеристики можно получить аналитически через интеграл Фурье, а конкретные отсчёты FIR фильтра считать непосредственным её вычислением.
График фильтра в логарифмическом масштабе:

Лучший способ для вычисления интеграла Фурье — это использовать какую-нибудь систему компьютерной алгебры. Например, в Wolfram Mathematica это будет выглядеть так:

InverseFourierTransform[1/(1 + w^2), w, x] // FullSimplify ↓

График получившейся функции, она же импульсная характеристика:

Как видно из формулы и графика, импульсная характеристика бесконечна — стремится к нулю, но не достигает его; а также симметрична относительно нуля (за счёт фазолинейности). Ограничение её во времени осуществляется путём умножения на оконную функцию, за счёт чего значения функции за пределами окна приобретают нулевые значения, не требующих участия в расчётах. Побочным эффектом этого становится искажения исходного спектра фильтра — поскольку при умножении функций их спектры сворачиваются. Итоговый спектр можно увидеть также через преобразование Фурье. Например, для прямоугольного окна получим

в результате чего АЧХ фильтра изменится на

код

FourierTransform[E^-Abs[x] Sqrt[Pi/2] UnitBox[x/5], x, w] // FullSimplify ↓
Пульсации, которые мы видим, являются следствием от наличия «боковых лепестков» оконной функции. Их можно уменьшить, взяв более гладкое и широкое окно. Среди множества разработанных окон одним из наиболее оптимальных и удобным для аналитических вычислений является окно Нуттала, определяемое как
Примечание

Используя полиномы Чебышёва, окно Нуттала также можно вычислить как , где
Помножив её на импульсную характеристику фильтра, получим:

код

frnw = FourierTransform[E^-Abs[x] Sqrt[Pi/2] NuttallWindow[x/20], x, w] // Simplify ↓
Как видно, величина пульсаций значительно уменьшилась. По графику видно, что «полка» фильтра слегка опустилась — в идеале это тоже нужно учитывать и компенсировать. В данном случае она составила (на нулевой частоте):
FourierTransform[E^-Abs[x] Sqrt[Pi/2] NuttallWindow[x/20], x, w] /.w->0.0 ↓

Мнимая часть здесь получилась вследствие погрешности при численных вычислениях и её можно смело отбрасывать (об этом говорит значение , поскольку точность вычислений в формате double и представляет примерно 16 десятичных цифр).

Аналогичным образом можно посчитать импульсные характеристики и для более высоких (но только целых) порядков, например:

InverseFourierTransform[1/(1+w^4), w, x] // FullSimplify ↓

Как видно, автоматического упрощения уже недостаточно и здесь требуется ручная работа по приведению формулы к удобочитаемому виду. В итоге получается следующая формула (в комплексных числах) для импульсной характеристики фильтра Линквитца-Рейли произвольного порядка:

При вычислении за счёт сложения комплексно-сопряжённых чисел мнимая часть обнуляется и в результате получится чисто действительная функция. Эту формулу можно выписать и непосредственно в действительных числах: